В прямоугольном треугольнике ABC, один из катетов равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равно 16 см. Найдите периметр треугольника ABC

Допустим, что длина неизвестного катета равна х, а проекция катета длиной 15 см на гипотенузу равна у см. Значит длина гипотенузы равна 16 + у см.

Таким образом, получаем первое уравнение:

15² + х² = (16 + у) ².

Если мы проведём из прямого угла высоту к гипотенузе, то получаем следующее уравнение:

х² - 16² = 15² - у².

Из второго уравнения получаем, что

х² = 256 + 225 - у²,

х² = 481 - у².

Подставим полученное значение х² в первое уравнение:

225 + 481 - у² = 256 + 32 * у + у²,

2 * у² + 32 * у + 256 - 706 = 0.

у² + 16 * у - 225 = 0.

Дискриминант данного уравнения равен:

16² - 4 * 1 * (-225) = 256 + 900 = 1156.

Так как у может быть только положительным числом, то задача имеет единственное решение:

у = (-16 + 34) / 2 = 9 (см).

х² = 481 - 81,

х² = 400,

х = 20 (см) - длина второго катета.

Значит гипотенуза равна 9 + 16 = 25 (см).

Периметр треугольника равен:

20 + 25 + 15 = 60 (см).