7. В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30°. Вершина прямого угла С соединена отрезком с точкой М, принадлежащей гипотенузе. Угол АМС равен 60°. Докажите, что СМ является медианой треугольника.

1. ∠ВМС = 180° - ∠АМС = 180° - 60° = 120°.

2. ∠ВСМ = 180° - ∠МВС - ∠ ВМС = 180° - 30° - 120° = 30°.

3. Углы при стороне ВС равны, то есть ΔСВМ - равнобедренный. ВМ = СМ.

4. ∠АСМ = 90° - ∠ВСМ = 90° - 30° = 60°.

5. ∠САМ = 180° - ∠АСМ - ∠ВМС = 180° - 60° - 60° = 60°.

6. В ΔАСМ все углы равны. Следовательно, равны и его стороны: АМ, СМ и АС.

7. АМ = СМ, а СМ = ВМ. Значит, АМ = ВМ, то есть отрезок СМ делит сторону АВ пополам. А это

значит, что СМ - медиана, что и требовалось доказать.