Площадь прямоугольного треугольника равна 65. Один из катеров на 3 больше другого. Найдите меньший катет.

Обозначим через а длину большего катета данного прямоугольного треугольника.

В исходных данных к данному заданию сообщается, что один из катетов данного прямоугольного треугольника на 3 больше другого, следовательно, длина меньшего из катетов этого треугольника должна быть равной а - 3.

Также в условии задачи сказано, что площадь этого треугольника равна 65.

Так как площадь всякого прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, можем составить следующее уравнение:

а * (а - 3) / 2 = 65.

решая которое, получаем:

а * (а - 3) = 2 * 65;

а^3 - 3a = 130;

а^3 - 3a - 130 = 0;

а = (3 ± √ (9 + 4 * 130)) / 2 = (3 ± √529) / 2 = (3 ± 23) / 2;

а1 = (3 + 23) / 2 = 26 / 2 = 13;

а2 = (3 - 23) / 2 = - 20 / 2 = - 10.

Так как длина катета не может быть отрицательной, то значение а = - 10 не подходит.

Находим меньший катет:

а - 3 = 13 - 3 = 10.

Ответ: 10.