В параллелограмме с периметром 8√3 см и углом 150 градусов вписана окружность. найдите её радиус

Как известно, что вписать окружность можно в тот четырёхугольник, в котором суммы противоположных сторон равны.

То есть в параллелограмме АВСД: АВ + СД = ВС + АС, но АВ = СД, и ВС = АС, значит АВ = ВС = СД = АС = а. То есть АВСД - ромб.

И высота h ромба равна двойному радиусу вписанной окружности r: 2r = h.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, полученный из боковой стороны ромба "а", высоты "h" и острым углом < А, который равен (180° - 150°) = 30°. Определим h как катет против угла в 30°.

h = а * sin 30°.

Периметр ромба Р = 4 * а = 8√3, а = 8√3 : 4 = 2√3.

Высота h = а * sin 30° = 2√3 * (1/2) = √3.

r = h / 2 = √3 / 2.