Вычислите длины катетов прямоугольного треугольника, если их проекция на гипотенузу равны 9 см и 16 см

Рассмотрим прямоугольный треугольник АBC с прямым углом B.

Опустим высоту BH на гипотенузу. Следовательно, проекции катетов на гипотенузу

AH = 9, CH = 16.

Треугольники ABH и ВСH подобны по трём углам, так как,

АHB = CHB = 90°, BAH = CBH, ABH = BCH.

Тогда:

AH / BH = BH / CH,

BH^2 = AH * CH = 9 * 16,

BH = 3 * 4 = 12.

Тогда по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников ABH, CBH получаем:

AB^2 = BH^2 + AH^2 = 12^2 + 9^2 = 15^2,

AB = 15.

BC^2 = BH^2 + CH^2 = 12^2 + 16^2 = 400,

BC = 20.

Ответ: длины катетов 15 и 20.