Решите задачу. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, AB=12, tgA=3. Найдите AH.

Обозначим необходимый нам отрезок АН - х, тогда ВН будет (12 - х).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН, и запишем в нём определение тангенса угла А:

Tg A = CH / AH → CH = tg A * AH = 3x.

В этом же треугольнике по теореме Пифагора находим АС:

AC² = CH² + AH² = 9x² + x² = 10x².

Рассмотрим треугольник ВСH и найдём катет ВС:

ВС² = СH² + BH² = 9x² + (12 - х) ² = 9x² + 144 - 24x + x² = 10x² - 24x + 144.

В треугольнике АВС записываем теорему Пифагора:

АС² + BC² = AB²

10x² + 10x² - 24x + 144 = 12²

20x² - 24x = 0

5x² - 6x = 0

x (5x - 6) = 0

5x - 6 = 0

x = 6/5 = 1,2

Ответ: длина АН равна 1,2.