Давление в котле превышает норму с вероятностью 0,2. В котельной установлено 7 котлов. Какова вероятность того, что менее чем в трёх давление превышает норму?

1) Общая вероятность (применяем схему Бернулли) : Р = Р0 (все котлы в норме) + Р1 (в одном котле превышено давление) + Р2 (в двух котлах превышено давление).

2) Р (все котлы в норме) = Р₇ (0) = C_n^k⁰ * p^k⁰ * (1 - p) ⁿ ^{- k}⁰, где n - количество котлов (n = 7 котлов); k0 - количество котлов с превышенным давлением (k0 = 0 котлов); p - вероятность превышения давления (р = 0,2).

Расчет: Р (все котлы в норме) = C₇⁰ * 0,2⁰ * (1 - 0,2) ^{7 - 0} = 1 * 1 * 0,8⁷ = 0,2097152.

3) Р1 (в одном котле превышено давление) = Р₇ (1) = C_n^k¹ * p^k¹ * (1 - p) ⁿ ^{- k}¹, где k1 - количество котлов с превышенным давлением (k1 = 1 котел).

Расчет: Р1 (в одном котле превышено давление) = C₇¹ * 0,2¹ * (1 - 0,2) ^{7 - 1} = 7 * 0,2 * 0,8⁶ = 0,3670016.

4) Р2 (в двух котлах превышено давление) = Р₇ (2) = C_n^k² * p^k² * (1 - p) ⁿ ^{- k}², где k2 - количество котлов с превышенным давлением (k2 = 2 котла).

Расчет: Р2 (в двух котлах превышено давление) = C₇² * 0,2² * (1 - 0,2) ^{7 - 2} = 21 * 0,04 * 0,8⁵ = 0,2752512.

5) Вероятность события: Р = 0,2097152 + 0,3670016 + 0,2752512 = 0,851968 или 85,11968%.

Ответ: Давление не превышает норму в менее чем в трех котлах с вероятностью 85,11968%.