докажите, что среди любых 35 натуральных чисел найдется хотя бы два, разность которых делится на 34

1. Любое натуральное число n можно представить в виде:

n = 34k + r, где:

k - частное от деления числа n на 34, k = 0; 1; 2; ...; r - остаток от этого деления, r = 0; 1; ... 32; 33.

2. Остаток r может принимать 34 значения от 0 до 33. Следовательно, среди любых 35 натуральных чисел найдутся хотя бы два числа n1 и n2, которые имеют один и тот же остаток:

n1 = 34k1 + r; n2 = 34k2 + r, отсюда получим: (n2 - n1) = 34 (k2 - k1). (1)

3. Из уравнения (1) следует, что n2 - n1 делится на 34, что и требовалось доказать.