При каких значениях b квадратный трехчлен - x^2+6x+b принимает только отрицательные значения?

График функции у = - x^2 + 6x + b, очевидно, парабола, ветви которой направлены вниз.

При интересующих нас значениях параметра b график этой функции должен располагаться ниже оси абсцисс, то есть уравнение

- x^2 + 6x + b = 0 не должно иметь действительных значений и, следовательно, дискриминант этого уравнения должен быть отрицательным числом:

D = 6 * 6 - 4 * ( - 1) * b = 36 + 4b.

36 + 4b < 0;

4b < - 36;

b < - 9.

Ответ: при b < - 9.