Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

1. Задана геометрическая прогрессия B (n), для первых ее членов существует зависимость:

b1 + b2 + b3 = 21;

b1² + b2² + b3² = 189;

2. Выразим все неизвестные (их же три) через первый член и знаменатель, тем более их же надо найти:

b1 + b1 * q + b1 * q² = b1 * (1 + q + q²) = 21;

b1² + b1² * q² + b1² * q⁴ = b1² * (1 + q1 + q⁴) = 189;

3. Делим второе уравнение на первое:

(b1² * (1 + q1 + q⁴)) / (b1 * (1 + q + q²)) = 189 / 21;

4. Используем разложение суммы трех квадратов:

b1 * (1 + q + q²) = 21;

b1 * (1 - q + q²) = 9;

5. Из первого уравнения: b1 = 21 / (1 + q + q²) подставим во второе:

21 * (1 - q + q²) / (1 - q + q²) = 9;

6. В итоге получаем квадратное уравнение:

2 * q² - 5 * q + 2 = 0;

q1,2 = (5 + - sqrt (5² - 4 * 2 * 2) / 2 * 2 = (5 + - 3) / 4;

q1 = (5 - 3) / 4 = 0,5;

q2 = (5 + 3) / 4 = 2;

b11 = 21 / (1 + 0,5 + (0,5) ²) = 12;

b12 = 21 / (1 + 2 + 2²) = 3.

Ответ: 1) q = 0,5, b1 = 12; 2) q = 2, b1 = 3.