Дано уравнение х² + (3 р-5) х + (3 р²-11 р-6) = 0 известно, что сумма квадратов его корней равна 65 найдите значение параметра р и корни уравнения

Пусть корни уравнения равны x₁ и x₂.

По условию х₁² + x₂² = 65.

Выразим эту сумму через квадрат суммы корней:

(x₁ + x₂) ² = х₁² + 2 х₁x₂ + x₂² = х₁² + x₂² + 2 х₁x₂.

Так как х₁² + x₂² = 65, то получается (x₁ + x₂) ² = 65 + 2 х₁x₂.

х² + (3 р - 5) х + (3 р² - 11 р - 6) = 0.

По теореме Виета: x₁ + x₂ = - b = - (3 р - 5) = 5 - 3 р.

x₁ * x₂ = с = 3 р² - 11 р - 6.

Подставляем в уравнение (x₁ + x₂) ² = 65 + 2 х₁x₂.

(5 - 3 р) ² = 65 + 2 (3 р² - 11 р - 6).

Раскрываем скобки, переносим все в левую часть, подводим подобные слагаемые:

25 - 30 р + 9 р² = 65 + 6 р² - 22 р - 12.

25 - 30 р + 9 р² - 65 - 6 р² + 22 р + 12 = 0.

3 р² - 8 р - 28 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

D = (-8) ² - 4 * 3 * (-28) = 64 + 336 = 400 (√D = 20);

p₁ = (8 - 20) / (2 * 3) = - 12/6 = - 2.

p₂ = (8 + 20) / 6 = 28/6 = 14/3.

Подставляем в первоначальное уравнение, находим корни.

1) Если р = - 2.

х² + (3 * (-2) - 5) х + (3 * (-2) ² - 11 * (-2) - 6) = 0.

х² - 11 х + 28 = 0.

D = (-11) ² - 4 * 28 = 121 - 112 = 9 (√D = 3);

x₁ = (11 - 3) / 2 = 8/2 = 4;

x₂ = (11 + 3) / 2 = 14/2 = 7.

2) Если р = 14/3.

х² + (3 * 14/3 - 5) х + (3 * (14/3) ² - 11 * 14/3 - 6) = 0.

х² + 9 х + 8 = 0.

D = 9² - 4 * 8 = 81 - 32 = 49 (√D = 7);

x₁ = (-9 - 7) / 2 = - 16/2 = - 8;

x₂ = (-9 + 7) / 2 = - 2/2 = - 1.

Ответ: если р = - 2, то корни равны 4 и 7; если р = 14/3, то корни равны - 8 и - 1.