В шахматном турнире приняли участие 30 школьников. Разряд присвоили тем, кто набрал не меньше 60 % возможных очков. Какому наибольшему количеству участников мог быть присвоен разряд (каждый участник сыграл по одному разу)

Пусть x - это количество участников, которым был присвоен разряд.

(30 - x) - количество участников, которые не получили разряд.

Каждый из участников сыграл 29 партий с остальными участниками. Значит, для присвоения разряда требовалось не менее 0,6 · 29 = 17,4 очков. Количество очков должно быть целое число, поэтому все получившие разряд вместе должны были заработать 18x очков.

В играх между собой они могли заработать все вместе (x · x - x) / 2 = (x^2 - x) / 2. Каждый сыграл с каждым, партии сам с собой не существуют и в каждой партии по 2 игрока.

В играх с участниками, которые не получили разряд они могли заработать максимум (30 - x) · x очков, в случае, если выиграют все партии.

Значит, максимально участники, получившие разряд, могли заработать:

(30 - x) · x + (x^2 - x) и это должно быть больше или равно 18x.

(30 - x) · x + (x^2 - x) / 2 ≥ 18x;

30x - x^2 + x^2/2 - x/2 - 18x ≥ 0;

-x^2/2 - x/2 + 12x ≥ 0;

x (-x/2 + 11,5) ≥ 0;

x > 0, тогда - x/2 + 11,5 ≥ 0;

-x/2 ≥ - 11,5;

x ≤ 23.

Ответ: Наибольшее количество участников, которым мог быть присвоен разряд 23.