В арифметической прогрессии третий и пятый члены равны соответственно 11 и 19. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Дано: (a_n) - арифметическая прогрессия;

a₃ = 11; a₅ = 19;

Найти: S₁₀.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии находится по формуле:

S_n = (a₁ + a_n) * n / 2;

Зная значения третьего и пятого членов прогрессии, можем найти d - разность прогрессии. Для этого запишем a₃ и a₅ по формуле n-го члена арифметической прогрессии: a_n = a₁ + d * (n - 1).

а₃ = a₁ + d * (3 - 1); a₅ = a₁ + d * (5 - 1);

a₁ + 2d = 11; a₁ + 4d = 19;

a₁ = 11 - 2d; a₁ = 19 - 4d;

11 - 2d = 19 - 4d;

2d = 8;

d = 4;

Далее находим первый член заданной прогрессии: a₁ = 11 - 2d = 11 - 2 * 4 = 3.

Теперь вычислим десятый член прогрессии:

a₁₀ = a₁ + d * (10 - 1) = 3 + 4 * 9 = 39.

И, наконец, найдём сумму S₁₀: S₁₀ = (a₁ + a₁₀) * n / 2 = (3 + 39) * 10 / 2 = 210.

Ответ: S ₁₀ = 210.