Решите неравенство 6x/x^2+5x≥x

6x / (x^2 + 5x) > = x. Перенесем х в левую часть и приведем к общему знаменателю:

6x / (x^2 + 5x) - x >=0;

(6 х - х (x^2 + 5x)) / (x^2 + 5x) >=0.

Раскроем скобки:

(6 х - x^3 - 5x^2) / (x^2 + 5x) >=0;

( - x^3 - 5x^2 + 6 х) / (x^2 + 5x) >=0;

вынесем в числителе (-х):

(-х (x^2 + 5x - 6)) / (x^2 + 5x) >=0;

умножим на (-1):

(х (x^2 + 5x - 6)) / (x^2 + 5x) <=0.

Разложим дробь на множители:

D = 25 + 24 = 49 (√D = 7); х1 = (-5 + 7) / 2 = 1; х2 = (-5 - 7) / 2 = - 6.

x^2 + 5x = х (х + 5).

(х (х - 1) (х + 6)) / (x (х + 5)) <=0.

Дробь меньше нуля, если числитель и знаменатель имеют разные знаки, получается две системы неравенств:

(1) х (х - 1) (х + 6) 0.

(2) х (х - 1) (х + 6) > = 0; x (х + 5) < 0.

Решаем каждую систему отдельно (методом интервалов):

1) х (х - 1) (х + 6) < = 0;

x (х + 5) > 0.

Корни первого неравенства равны 0, 1 и - 6. Расставляем на прямой, подписываем знаки каждого интервала: (-) - 6 (+) 0 (-) 1 (+). Нам нужен знак (-), так как < = 0. Решением неравенства будут промежутки (-∞; - 6] U [0; 1].

Корни второго неравенства равны 0 и - 5. Расставляем знаки: (+) - 5 (-) 0 (+). Нам нужен знак (+), так как > 0. Решением неравенства будут промежутки (-∞; - 5) U (0; + ∞).

Решением системы будут промежутки (-∞; - 5) и (0; 1].

2) х (х - 1) (х + 6) > = 0;

x (х + 5) < 0.

Знаки первого неравенства: (-) - 6 (+) 0 (-) 1 (+). Нам нужен знак (+), так как > = 0. Решением неравенства - промежутки [-6; 0] U [1; + ∞).

Знаки второго неравенства: (+) - 5 (-) 0 (+). Нам нужен знак (-), так как < 0. Решением неравенства будет промежуток (-5; 0).

Решением системы будет промежуток (-5; 0).

Ответ: (-∞; - 5), (-5; 0) и (0; 1].